一个关于星座点的奇妙问题

假设两种QPSK的星座点分布分别为{(1,0),(-1,0),(3,0),(-3,0)}、{(1,1),(-1,1),(1,-1),(-1,-1)}对应的归一化点，在信噪比足够高的情况下，谁的bps/Hz会更高? 在信噪比（SNR）足够高的情况下，我们分析两种QPSK星座点分布归一化后的bps/Hz（比特率），即单位带宽下的最大信息传输速率。重点分析：

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一、两种星座点分布描述

1. 方案 A（非标准 QPSK）： 星座点为：

   𝒮_A = {(1,0), (−1,0), (3,0), (−3,0)}

   实质上是 1 维 4-PAM 信号，所有点都落在实轴上。

2. 方案 B（标准 QPSK）： 星座点为：

   𝒮_B = {(1,1), (−1,1), (1,−1), (−1,−1)}

   实质上是复平面上 2 个正交 BPSK 叠加，即真正的 QPSK（4-QAM）。

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二、归一化后星座能量比较

方案 A：

• 能量均值：

  $$ E_A = \frac{1^2 + (-1)^2 + 3^2 + (-3)^2}{4} = \frac{1 + 1 + 9 + 9}{4} = \frac{20}{4} = 5 $$

• 归一化后星座点变为：

  $$ \{ \pm \frac{1}{\sqrt{5}}, \pm \frac{3}{\sqrt{5}} \} $$

方案 B：

• 每点能量为：

  $$ E_B = \frac{|1 + j1|^2 + |-1 + j1|^2 + |1 - j1|^2 + |-1 - j1|^2}{4} = \frac{4 \cdot 2}{4} = 2 $$

• 每个坐标归一化因子为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，即星座点为：

  $$ \left\{ \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right\} $$

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三、bps/Hz 比较分析（高SNR下的极限）

在高SNR极限下，信道容量趋近于调制星座所能携带的最大信息量，即：

bps/Hz = log₂(M)

• 两者星座点数均为 M = 4，因此理论上：

  bps/Hz = log₂(4) = 2 bits/s/Hz

所以 从最大信息速率的角度看，两者是相同的。

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四、实际系统差异分析

尽管最大 bps/Hz 相同，实际误码率性能与带宽利用效率仍不同：

1. 星座分布维度：

• 方案 A：实数域的 4-PAM → 占据实轴一维。
• 方案 B：复数域的 QPSK → 占据 I/Q 两个正交维度。

因此，在同样带宽资源下，方案 B 的带宽利用效率更高，在一个复采样周期内可传输两个正交分量。

2. 符号速率与带宽：

• 若系统带宽固定，方案 A 必须以更高符号率来抵消其只能发送实信号的劣势。
• 这会导致系统需更高带宽或更高的采样率。

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结论

• 在 理想高SNR条件下，从调制阶数上讲，两者 bps/Hz 均为 2 bits/s/Hz。
• 但 实际系统中，方案 B（标准 QPSK）具有更高的频谱效率，因为它利用了复平面的两个维度，而方案 A 仅限于实数轴，不能充分利用带宽。

✅ 最终结论：

在信噪比足够高、归一化后的条件下，标准QPSK（方案B）在实际系统中实现的 bps/Hz 更高，尽管两者的调制阶数相同。